Example

首先从两个例子开始。

例 1,下例输出是?

#include<stdio.h>

void main(){
    float p = 1000000.9;

    printf("%f", p);
}

结果:1000000.875000

例 2,下例输出是?

#include<stdio.h>

void main(){
    int i = 1;
    float* p = &i;

    printf("%f", *p);
}

结果:0.000000

理解浮点数

从例 1 可知,浮点数表示的精度有限;由例 2 可知,同样为 4 Byte,float 和 int 的数据组织不一样。那么浮点数是如何组织的呢?首先回忆科学计数法。在科学记数法中,一个有限的实数可用如下表示:

a * 10^n

其中:
1 <= |a| < 10
n 为整数

以上式子亦可表达为如下:

(-1)^s * a * 10^n

其中:
s = 0 或 1,s 为 0 表示正数,为 1 表示负数
1 <= a < 10
n 为整数

计算机采用二进制,科学计数法的二进制表达如下:

(−1)^s × a × 2^n

其中
s = 0 或 1,s 为 0 表示正数,为 1 表示负数
1 <= a < 2
n 为整数

以 4 Byte 的 float 为例,IEEE 754 对其的定义如下:

|s|exponent(8 bit)|            fraction (23 bit)                |
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
  • s 表示符号位,共 1 bit,0 表示正数,1 表示负数
  • e(exponent) 共 8 bit,它决定了 n 的值,即浮点数能表达的范围
  • f(fraction) 共 23 bit,它决定了 a 的值,即浮点数的精度

e 和 n 的关系如下:

n = e - 127

其中 0<= e <= 255
所以 -127 <= n <= 128。(当 n = 128 时,表示浮点数无穷大)

f 和 a 的关系如下:

a = f/(2^23) + 1

其中 0 <= f <= 8388607
所以 1 <= a <= 1.99999988

所以 float 类型的浮点数能表示的范围为:

± 1.99999988 * 2^-127 至 ± 1.99999988 * 2^127
即:± 1.18 × 10^-38 至 ± 3.4 × 10^38

float 类型的浮点数精度为:

1/(2^23) = 1.19 * 10^-7,十进制下为 7 位。

同理,double 类型的浮点数能表示的范围和最大精度为:

范围:± 2.23 × 10^-308 到 ± 1.80 × 10^308
精度:十进制下为 16 位

例 1 中,因为 1000000.9 长度为 8 位,超出 float 所能表示的最大精度,所以不能被精确表示。

例 2 中,对于 int i = 1,其在内存中的数据为:

|s|exponent(8 bit)|            fraction (23 bit)                |
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

故有 s = 0, e = 0, f = 1,其值为 (-1)^0 (1 + 2^-23) 2^-127,即 5.88 * 10^-39,所以显示的结果为 0。

标签: 浮点数

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